第一部分 课程基本信息【课程性质】 学科与专业必修课程【课程基础】 掌握高中代数，平面解析几何，立体几何等基本知识。【适应对象】 化学化工与材料学院 化学、化学实验班、应用化学、材料化学、环境科学、高分子材料与工程、制药工程（化学制药）专业的本科生，生命科学学院 生物工程、生物技术、制药工程（生物制药）、食品科学与工程专业的本科生，建筑工程学院 土木工程（给水排水工程）专业的本科生，农业资源与环境学院 农业资源与环境、种子科学与工程、水土保持与荒漠化防治专业的本科生，信息管理学院 信息管理与信息系统、电子商务等专业的本科生，信息科学技术学院计算机科学与技术学院(网络工程)专业的本科生，国际文化教育学院 理科专业的本科生。【教学目的】 本课程是高等学校理工科（本科）相关专业的一门必修的基础课，它为学习后续课程提供必要的数学知识。同时还能培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力及综合运算能力，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，对今后的学习、研究和应用都具有关键的作用。【内容提要】 一元函数微积分及其应用；空间解析几何；多元函数微积分及其应用；级数的一般理论；常微分方程。本课程分两学期讲授，其中第一学期讲授第一至六章（75学时），第二学期讲授第七至十一章（90学时），总学时为165学时（具体分配情况可参考第二部分），其中带*号的内容为选讲内容。第二部分 主要教学内容和基本要求【主要教学内容】第一章 函数第一节 集合与映射一、集合的基本概念及其运算二、区间和邻域三、映射的概念及应用举例第二节 函数及其基本性质一、函数的概念二、复合函数与反函数的概念三、函数的几种特性四、初等函数【基本要求】一、熟练掌握集合的基本理论和函数、函数的定义域、值域、初等函数的概念，并能建立简单应用问题中的函数关系式；熟练掌握基本初等函数的性质及图像。二、掌握函数的性质（奇偶性、单调性、周期性和有界性）。三、了解映射、单射、满射、一一映射、复合映射与逆映射；了解复合函数及分段函数的概念，了解反函数和隐函数的概念。【参考学时】 5学时【参考资料】 杨兴云等编，高等数学[M].哈尔滨： 哈尔滨出版社，2009年.第二章 极限与连续第一节 极限的定义一、函数的极限二、无穷小与无穷大三、数列的极限第二节 极限的性质及运算法则一、极限的性质二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则第三节 极限存在准则 两个重要极限一、极限存在的两个准则二、两个重要极限三、应用举例第四节 无穷小的比较一、无穷小的阶的比较二、等价无穷小之间的关系三、等价无穷小替换求极限第五节 函数的连续性一、函数的连续性的概念二、函数的间断点三、连续函数的运算四、初等函数的连续性第六节 闭区间上连续函数的性质一、有界性与最大、最小值定理二、零点定理与介值定理第七节 极限计算方法举例【基本要求】一、熟练掌握极限存在与左右极限之间的关系，极限的性质及四则运算法则；熟练掌握用变量代换求某些简单复合函数的极限，熟练掌握两个重要极限和无穷小的性质求极限；熟练掌握连续函数的运算法则，并能利用初等函数的连续性计算极限。二、掌握并理解极限的概念、函数连续性的概念和函数在一区间上连续的概念，能正确判断常用初等函数间断点的类型；能利用连续函数的性质证明较简单的问题；掌握无穷小量的定义和阶的概念及其简单的运算。掌握无穷小与无穷大的概念、极限存在的两个准则，掌握闭区间上连续函数的性质。【参考学时】 15学时【参考资料】 杨兴云等编，高等数学[M].哈尔滨： 哈尔滨出版社，2009年.第三章 导数与微分第一节 导数的概念一、导数的概念二、导数的几何意义三、函数可导性与连续性的关系第二节 导数的运算法则一、函数的和、差、积、商的求导法则二、反函数、复合函数的求导法则三、基本初等函数的导数公式四、初等函数的求导方法第三节 高阶导数一、高阶导数的概念二、高阶导数的计算方法举例第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数三、取对数求导方法和相关变化率。第五节 微分及其应用一、微分的定义及基本运算法则二、微分的几何意义三、微分形式的不变性四、微分在近似计算中的应用。【基本要求】一、熟练掌握用导数与微分的运算法则求函数的导数与微分的方法；熟练掌握基本初等函数的求导公式；熟练掌握隐函数、反函数和由参数方程确定的函数的导数以及这两类函数中比较简单函数的二阶导数，会解一些简单实际问题中相关变化率问题。二、掌握并理解导数和微分的概念；掌握导数、微分与连续之间的关系及导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程。三、了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量；了解微分概念中所包含的局部线性化思想，了解微分的有理运算法则和一阶微分形式不变性；了解微分在近似计算中的应用；了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。【参考学时】 15学时【参考资料】 杨兴云等编，高等数学[M].哈尔滨： 哈尔滨出版社，2009年.第四章 微分中值定理与导数的应用第一节 微分中值定理一、Fermat定理二、Rolle定理三、Lagrange中值定理四、Cauchy中值定理第二节 L＇Hospital法则一、型的L＇Hospital法则及其应用二、型的L＇Hospital法则及其应用第三节 函数图形的某些几何性态的研究一、函数单调性与极值二、曲线的凹凸性与拐点三、函数的极值与最大值、最小值问题四、函数图形的描绘第四节 Taylor公式一、Taylor公式二、Taylor公式的应用第五节* 方程的近似解【基本要求】一、熟练掌握L＇Hospital法则，并能运用其计算各种不定型的极限；熟练掌握利用导数判断函数的升降、确定函数的极值与最值、以及判断函数的凸凹性和拐点的方法。二、掌握并理解Rolle定理、Lagrange中值定理并会运用。三、了解Cauchy中值定理和Taylor中值定理。【参考学时】 13学时【参考资料】 杨兴云等编，高等数学[M].哈尔滨： 哈尔滨出版社，2009年.第五章 一元函数的积分学第一节 定积分的概念及其基本性质一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的基本性质第二节 Newton-Leibniz公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系二、原函数的概念三、积分上限函数及其导数四、Newton—Leibniz公式第三节 不定积分一、不定积分的概念与基本性质二、不定积分的换元积分法三、不定积分的分部积分法第四节 有理函数及某些可化为有理函数的积分一、有理函数的积分二、三角函数有理式的积分三、根式函数有理函数的积分四、积分表的使用方法第五节 广义积分一、无穷限的广义积分二、无界函数的广义积分第六节 定积分的计算一、定积分的换元积分法二、定积分的分部积分法三、定积分的计算举例【基本要求】一、熟练掌握定积分的基本性质和不定积分的基本公式以及求不定积分、定积分的换元积分法和分部积分法（淡化特殊积分技巧的训练），并能灵活运用；熟练掌握Newton-Leibniz公式。二、掌握并理解定积分的概念与几何意义（对于利用定积分定义求定积分与求极限不作要求）；掌握原函数、不定积分的概念，理解积分上限函数及其求导定理。三、了解一些有理函数的积分方法、两类广义积分及其收敛性及的概念。【参考学时】 17学时【参考资料】 杨兴云等编，高等数学[M].哈尔滨： 哈尔滨出版社，2009年.第六章 定积分及其应用第一节 定积分的元素法简介一、定积分的元素法第二节 定积分在几何学中的应用一、平面图形的面积二、某些立体的体积三、平面曲线的弧长第三节 *定积分在物理学、化学、生物学中的应用一、变力沿直线所作的功二、液体的压力三、物体的引力四、黏液定常流动时管流量的测定五、平均值【基本要求】一、掌握科学技术问题中建立定积分表达式的元素法,会运用定积分的元素法求平面图形的面积、已知平行截面面积的立体的体积、旋转体的体积、光滑曲线的弧长；二、了解定积分在物理、化学、生物学等方面上的应用.【参考学时】 10学时【参考资料】 杨兴云等编，高等数学[M].哈尔滨： 哈尔滨出版社，2009年.第七章 向量代数与空间解析几何简介第一节 向量及其线性运算一、空间直角坐标系二、向量的概念及线性运算三、向量的模、方向角、投影第二节 向量的数量积与向量积一、两向量的数量积二、向量积三、*混合积第三节 平面与空间曲线一、平面方程二、空间直线方程第四节 曲面和空间曲线一、曲面方程的概念二、空间曲线方程三、空间曲线在坐标面上的投影四、柱面五、旋转曲面与常见的二次曲面【基本要求】一、熟练掌握空间直角坐标系，会求两点间的距离；熟练掌握向量的概念、表示及其运算法则；熟练掌握用坐标表达式进行向量运算； 熟练掌握向量的数量积、向量积；熟练、掌握直线和平面方程的概念及其求法。二、理解解向量垂直与平行的条件；理解空间曲线在坐标面上的投影。理解曲面方程的概念；理解空间曲线方程的概念、三、了解混合积；了解空间点线、点面之间的距离；了解线线、线面、面面间的夹角和距离；了解空间曲线的参数方程和一般方程。【参考学时】 10学时【参考资料】 杨兴云等编，高等数学[M].哈尔滨： 哈尔滨出版社，2009年.第八章 多元函数的微分学及其应用第一节 多元函数的基本概念一、平面点集二、多元函数的概念三、二元函数的几何意义第二节 多元函数的极限与连续一、多元函数的极限二、多元函数的连续性三、有界闭区域上连续函数的性质第三节 偏导数与全微分一、偏导数的概念、计算二、高阶偏导数三、全微分的概念、全微分存在的条件及计算第四节 复合函数偏导数的求导法则一、复合函数偏导数的求导法则二、复合函数的偏导数的计算三、一阶全微分形式的不变性第五节 隐函数微分法一、一个方程的情形二、方程组的情形第六节 方向导数和梯度一、方向导数的概念及计算二、梯度的概念及其意义第七节 *多元函数的Taylor公式第八节 多元函数的极值一、多元函数的极值的概念及计算二、多元函数的最大（小）值的计算三、条件极值与*拉格朗日乘数法第九节 多元函数微分学在几何上的应用 一、空间曲线的切线与法平面二、空间曲面的切平面与法线【基本要求】一、熟练掌握偏导数、全微分及其简单函数的高阶偏导数的求法；熟练掌握多元函数极值存在的必要条件，会求简单多元函数的极值、最大（小）值及其简单应用题。二、掌握并理解二元函数的概念及其几何意义；掌握并理解偏导数，全微分的概念与多元函数极值和条件极值的概念。三、了解多元函数的概念、方向导数和梯度的概念及计算方法；了解空间曲线的切线与法平面方程、空间曲面的切平面与法线方程的求法；了解二元函数的极限与连续的概念以及闭区域上连续函数的性质；了解Lagrange乘数法。【参考学时】 20学时【参考资料】 李桂范等编，高等数学[M].哈尔滨： 哈尔滨出版社，2009年.第九章 多元函数的积分学及其应用第一节 几何体上的积分及其基本性质一、何体上的积分的概念二、几种常见形式的几何体上的积分三、几何体上积分的基本性质第二节 二重积分的计算法一、二重积分的几何意义二、直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算第三节 三重积分的计算一、在直角坐标下计算三重积分二、在柱坐标系下计算三重积分三、在球面坐标系计算三重积分。第四节 *第一类曲线积分与曲面积分的计算一、第一类曲线积分性质与计算二、第一类曲面积分的性质与计算第五节 *第二类曲线积分与曲面积分一、第二类曲线积分的概念、性质与计算二、第二类曲面积分的概念、性质与计算第六节 *几种积分间的联系一、两类曲线积分之间的转化二、两类曲面积分之间的转化三、Green公式四、Gauss公式五、Stokes公式第七节 *积分与路径无关的条件一、平面曲线积分与路径无关的条件二、二元函数的全微分求积三、*空间曲线积分与路径无关的条件第八节 *场论初步一、场的概念二、向量场的散度、旋度、通量、环流量第九节 *多元函数积分学的应用一、积分的元素法简介二、质心、转动惯量和引力【基本要求】一、熟练掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法，会计算简单的三重积分（直角坐标、柱面坐标、*球面坐标）。二、了解几何体上的积分的概念、第二类曲线积分和第二类曲面积分的概念；掌握两类曲线积分（对空间曲线的计算只做简单训练）和两类曲面积分的计算方法；掌握Green公式、Gauss公式，并会灵活运用。了解两类曲线积分的性质及其关系、两类曲面积分的性质及其关系；了解第二类平面曲线积分与路径无关的物理意义，了解Stokes公式，了解场的基本概念，了解散度、旋度、通量、环流量的概念及其计算方法；了解科学技术问题中建立重积分与曲线、曲面积分表达式的元素法（微元法），会建立某些简单的几何量和物理量的积分表达式。【参考学时】 20学时【参考资料】 李桂范等编，高等数学[M].哈尔滨： 哈尔滨出版社，2009年.第十章 无穷级数第一节 常数项级数的概念及其基本性质一、常数项级数的概念二、常数项级数的基本性质第二节 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法二、交错级数及Leibniz（莱布尼兹）定理三、绝对收敛与条件收敛的概念四、任意项级数敛散性的判别方法第三节 函数项级数一、函数项级数的概念及其基本性质二、*函数项级数的一致收敛性及其判别法三、*一致收敛的函数项级数的性质第四节 幂级数一、幂级数的概念及基本性质二、幂级数的收敛域及收敛区间三、幂级数的运算及和函数的分析性质四、函数的泰勒级数及泰勒级数展式在近似计算中的应用五、*Euler公式第五节 *Fourier（傅里叶）级数一、三角函数系的正交性及三角级数系二、周期函数展开成傅里叶级数三、一般函数展开成傅里叶级数【基本要求】一、熟练掌握利用收敛级数的性质判别级数收敛的一些方法；熟练掌握达朗贝尔判别法，能判别级数的绝对收敛和条件收敛；熟练掌握幂级数的收敛区间和收敛半径的求法，能利用间接展开法将初等函数展开成幂级数。二、理解无穷级数的和与收敛的概念。三、了解用泰勒级数在近似计算中的应用。【参考学时】 20学时【参考资料】 李桂范等编，高等数学[M].哈尔滨： 哈尔滨出版社，2009年.第十一章 常微分方程第一节 微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念二、微分方程解、通解与特解、初始条件三、微分方程的几何意义第二节 可分离变量的一阶微分方程一、可分离变量的微分方程二、可化为可分离变量方程的几种类型第三节 一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程二、Bernoulli方程第四节 *全微分方程一、全微分方程的概念及全微分方程的解法二、积分因子第五节 某些高阶微分方程的降阶解法一、形如的微分方程二、形如的微分方程三、形如微分方程第六节 n阶线性微分方程解的结构一、函数之间的线性相关与线性无关二、二阶线性微分方程通解的结构三、高阶齐次线性微分方程通解的结构四、*n阶线性微分方程的幂级数解法第七节 n阶常系数线性微分方程的解法一、n阶常系数齐次线性微分方程的解法—特征根法二、n阶常系数非齐次线性微分方程的解─比较系数法三、Euler方程第九节 微分方程的应用举例一、用微分方程解决实际问题的一般步骤二、微分方程应用举例【基本要求】一、熟练掌握变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程的解法以及二阶常系数齐次线性微分方程的解法。二、掌握并理解微分方程的有关概念、二阶线性微分方程解的结构；掌握以及用降阶法解特殊的高阶微分方程，会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解；掌握用微分方程解决一些简单的应用问题的方法。三、了解全微分方程的解法、某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程和Euler方程的解法。【参考学时】 20学时【参考资料】 李桂范等编，高等数学[M].哈尔滨： 哈尔滨出版社，2009年.